実際に遺言書を書くとき、具体的に誰かを指名して財産をあげたいという場合にその文言として『相続させる』と書いた場合と『贈る』と書いた場合とでは、違いが生じるのでしょうか？

　一般に『相続させる』は、相続人に対して使い、『贈る』（或いは『遺贈する』）の方は、相続人以外の人に対して使われると解されています。
　とはいえ、現実には相続人以外の人に『相続させる』とか、相続人に対して『贈る』という表現を使ったとしても、特別に問題はないとされています。　　

　過去には、『贈る』という言葉は法律的には”相続”ではなく”遺贈”（贈与）となるから、相続人に対してこの”遺贈”を使ってしまうと、不動産の移転登記に際して支払う登録免許税が相続としての安い税率（不動産価額の1000分の4）では無く、遺贈（贈与）としての高い税率（同・1000分の20）が適用されるという不利益がありました。

　しかし、現在では”相続人に対する遺贈”は相続とみなされ、安い方の税率（同・1000分の4）が適用されることになっていますから、あまり心配しなくても良くなりました。
　
　一応、『相続させる』と『贈る』とでは、以上のような違いがあります。